西安高新第一中學(xué)高中部   王東明
向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，是近幾十年來國內(nèi)外數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要特征．從六十年代的新數(shù)運(yùn)動到七十年代末的回到基礎(chǔ)，許多國家的數(shù)學(xué)課程都不同程度地涉及到平面向量．日本數(shù)學(xué)課程安排的必學(xué)內(nèi)容雖然較少，但是卻安排不少的向量知識作為必學(xué)內(nèi)容．前蘇聯(lián)也曾致力于用向量、變換等來處理歐氏幾何．進(jìn)入二十一世紀(jì)，我國人教社編寫的高中《數(shù)學(xué)》實(shí)驗(yàn)課本，將向量作為高中數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容，是一個(gè)重大舉措． 
平面向量在我國的這一次課程改革中之所以被列入高中數(shù)學(xué)必學(xué)內(nèi)容，主要基于以下幾個(gè)原因：
1．平面向量這部分知識本身很重要，作為工具性知識廣泛應(yīng)用于三角、解析幾何、立體幾何的教學(xué)中，可以利用向量處理傳統(tǒng)內(nèi)容．例如在三角部分，利用向量證明正弦定理、余弦定理，既簡捷又易于接受；在立體幾何、解析幾何部分，利用空間向量證明直線與平面的性質(zhì)定理，較好地處理直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及平面上涉及相關(guān)點(diǎn)的軌跡問題等；在復(fù)數(shù)中，向量與復(fù)數(shù)結(jié)合，使復(fù)數(shù)更形象化，復(fù)數(shù)運(yùn)算具有幾何意義．
2．平面向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁．利用向量，可以將形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。通過建立有向線段、向量、坐標(biāo)表示之間的聯(lián)系，使平行、垂直、投影、兩點(diǎn)間距離、線段定比分點(diǎn)，圖形平移等問題代數(shù)化．因此，通過本章的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生深刻體會形數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
3．平面向量的觀點(diǎn)、方法在物理和其它學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用，如在位移（三角形法則）、力的合成與分解（平行四邊形法則、平面向量基本定理）、功（向量的數(shù)量積）中的應(yīng)用．更重要的是，通過學(xué)習(xí)要使學(xué)生明確之所以有這樣廣泛的應(yīng)用，是因?yàn)閿?shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，來源于生產(chǎn)生活實(shí)際，又為解決生產(chǎn)生活實(shí)際中的問題服務(wù)．
由于平面向量是新教材增加的內(nèi)容，無論是對于教師還是學(xué)生都是全新的。作為教師不僅要學(xué)習(xí)新的知識內(nèi)容，而且要從思想方法上研究平面向量這一章所蘊(yùn)含的實(shí)質(zhì)，在原有的知識結(jié)構(gòu)上建構(gòu)新的認(rèn)知，加強(qiáng)用向量的觀點(diǎn)研究以往教材的知識結(jié)構(gòu)體系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量解決問題的意識。關(guān)于向量的應(yīng)用，本文后面會舉例說明，下面先談一下這一章教材的結(jié)構(gòu)。
本章教材主要包括這樣三部分：首先介紹向量的幾何表示（包括向量的加、減、數(shù)乘）；然后通過平面向量基本定理這一橋梁（雖然沒有證明），引入向量的坐標(biāo)表示，特別是突出了向量的數(shù)量積 與坐標(biāo)形式 之間的關(guān)系，以及兩個(gè)向量平行與垂直的條件；最后是應(yīng)用，主要包括線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，平移公式，正弦定理、余弦定理的證明。教材把解三角形的有關(guān)內(nèi)容放在向量這一章，使三角函數(shù)這一部分內(nèi)容與向量聯(lián)系起來，體現(xiàn)了教材在編寫時(shí)不分學(xué)科（代數(shù)、幾何）的特點(diǎn)。在這一章，向量的數(shù)量積是本章的一個(gè)重頭戲，因?yàn)榻⒘讼蛄康臄?shù)量積的概念后，從幾何意義上說，我們可以研究向量垂直以及向量之間的夾角，值得注意的是，教材中處理正弦定理、余弦定理的證明時(shí)，充分利用了向量的數(shù)量積的概念，雖然略顯奇特，但留給我們的是更多的思考。
那么，在教學(xué)中應(yīng)該注意那些問題呢？ 
首先，注重基本概念和基本運(yùn)算的教學(xué) ，突出概念、定理的抽象概括過程。
向量這一章的內(nèi)容雖然概念多，但大都有其物理上的來源，雖然抽象，卻與圖形有著密切的聯(lián)系，向量應(yīng)用的優(yōu)越性也是非常明顯的。例如，向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來，而成為平面內(nèi)的一自由向量，雖然是抽象的形式符號，依然可以以位移為背景圖象，理解上并不困難。又如在向量的加法教學(xué)中，如果回避知識的產(chǎn)生過程，按照課本給出加法的三角形法則，生搬概念從而迅速進(jìn)入解題階段一上來，就會造成學(xué)生的生搬硬套，對知識只是一知半解，但是我們?nèi)绻诮虒W(xué)中先提出問題：應(yīng)該怎樣定義兩個(gè)向量的加法？大家在物理中能找到那些依據(jù)？那么，數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合會使許多學(xué)生產(chǎn)生一種新鮮感與一股探求新知識的欲望，從而進(jìn)入一種緊張的思維狀態(tài)，在大腦中積極主動的搜尋能抽象出兩個(gè)向量加法的實(shí)際背景。這樣學(xué)生不僅能正確的表述出怎樣求兩向量的和，而且還能發(fā)現(xiàn)三角形法則和平行四邊形法則這兩種方法的一致性。還有，在平面向量基本定理這一節(jié)的教學(xué)中，我們可以先結(jié)合物理中力的分解的知識，引導(dǎo)學(xué)生自己去總結(jié)出這一定理。等等。通過教學(xué)要求學(xué)生對概念理解深刻到位，運(yùn)算要準(zhǔn)確，尤其是向量互相垂直，平行的充要條件和平面向量基本定理應(yīng)該熟練掌握，因?yàn)檫@是向量知識靈活應(yīng)用的基礎(chǔ)。
其次，突出向量的應(yīng)用意識.
新教材之所以增加向量的內(nèi)容，不僅是因?yàn)榻滩膬?nèi)容的陳舊而增加新的內(nèi)容以適用形式的需要，更是因?yàn)橄蛄渴墙鉀Q問題的有效的思想方法，下面舉例說明。
1. 利用向量解決平面幾何問題.
例1  如圖1正方形OABC兩邊AB，BC的中點(diǎn)分別為D和E，求∠DOE的余弦值。
解：創(chuàng)造使用求角公式的條件，為此須求 ? 。
 = + = +  ，      = + = +  ， 
∴ ? =（ +  ）?（  + ）
           = ? + （ ? + ? ）+  ? 
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴  ? =0， ? =0。
又∵ = ，  =  ，
∴ ? = =| |2= 。
于是 ? = （| |2+| |2）=| |2，
又| |2=| |2+| |2=| |2+ | |2= | |2，
∴cos∠DOE= = = = 
2.利用向量解決立體幾何問題：
例2. 如圖2所示，已知四面體O－ABC中，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)，若AB=OC，證明: PM⊥QN。
分析：本題可以利用傳統(tǒng)的方法證明，也可以利用向量知識證明。
證明  ∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，
∴ = （ + ）。
同理由N是AC的中點(diǎn)，得 = （ + ）。
∵ = + 
= （ + + ）
      = （ － + ）
= （ + ），
 = + 
= （ + + ）
= （ － + ）
= （ + ）
=  （ － ）。
∴ ? = （ + ）? （ － ）
= （ － ）。
∵| |=| |，
∴ ? =0，即PM⊥QN。
評注：利用向量解幾何題，關(guān)鍵是將有關(guān)線段設(shè)為基底向量，不同的設(shè)法可出現(xiàn)不同的解法。
3.利用向量解決有關(guān)不等式、函數(shù)最值問題.
例3.證明柯西不等式   （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立）
    證明：令 
（1） 當(dāng) 或 時(shí)， ，結(jié)論顯然成立；
（2） 當(dāng) 且 時(shí)，令 為 的夾角，則 
          . 又  
    （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立）
    
    .（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立）
例4、求函數(shù) 的最大值。
解：由于 
= ，
所以，可設(shè)  則有 ，
 = ，
向量數(shù)量積的性質(zhì)得，  ，
即 的最大值是 。
評注：利用向量解有關(guān)不等式、函數(shù)的最值問題，主要是適當(dāng)構(gòu)造向量 ，然后利用向量數(shù)量積的性質(zhì)   處理。
4. 利用向量求解軌跡問題. 
向量本身具有數(shù)與形結(jié)合的雙重身份，這為解決問題過程中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法創(chuàng)造了條件。在解析幾何中這種數(shù)與形的思想方法尤為突出，而求動點(diǎn)軌跡方程既是解析幾何中的重點(diǎn)也是難點(diǎn)。
例5.若四邊形OABF為平行四邊形，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線 的焦點(diǎn)，B為拋物線上一點(diǎn)，求點(diǎn)A的軌跡方程。
分析：如圖（3），我們?nèi)菀椎玫?+ = ,

解：設(shè)點(diǎn)A（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)，且B（a，b），易得F(3,2)  ，則 =（-3，-2） ，  =（a-3,b-2）,  =(x-3,y-2)，則由 + = 得                       
    
整理，得     
即為所求的點(diǎn)A的軌跡方程.
評注：本題利用向量的加法解題，比利用平行四邊形的性質(zhì)較容易，簡捷，并且其中運(yùn)算量也不大。
5.利用向量解決有關(guān)三角函數(shù)的問題.
在教材中，利用向量證明正弦定理以及余弦定理已經(jīng)讓我們看到了向量數(shù)量積的奇特作用，下面再舉一例說明。
例6.利用向量方法證明公式： 
證明：如圖4在單位圓中做向量 ，與x軸正向的夾角分別是α、β，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ，則 ，又 ，而 ，所以等式成立。
評注：這種證明方法主要利用向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示，通俗易懂，學(xué)生很容易掌握。
向量的應(yīng)用是一種新的思想方法,由于常規(guī)視角的轉(zhuǎn)變，形成了新的探索途徑，容易激發(fā)所有學(xué)生的參與，探索新的解題途徑，展示各自的思維能力和創(chuàng)新意識。但是在教學(xué)中一定要注意，學(xué)生在一開始并不能很快進(jìn)入狀態(tài)，在教學(xué)中不應(yīng)操之過急,要注意控制難度以及逐步滲透。因此數(shù)學(xué)教學(xué)中我們努力做到：深鉆教材，追蹤數(shù)學(xué)家的思路；稚化模擬，展現(xiàn)教師思路；放手探索，激活學(xué)生思路．這樣教、學(xué)相得益彰，師生在互動學(xué)習(xí)中才能得到提高.